2023-2024学年广东省江门市台山市新宁中学教育集团中考数学一模试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.2的倒数是( )
A. B. C. D. 2
2.一组数据：98、97、99、99、96，那么这组数据的众数为( )
A. 98 B. 96 C. 97 D. 99
3.下列图形中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.要使式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
6.一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
7.将抛物线向左平移1个单位长度，向下平移2个单位得到抛物线的解析式为( )
A. B. C. D.
8.不等式组的解集是( )
A. B. C. D. 无解
9.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：：1，连接AE交BD于点F，则的面积与的面积之比为( )
A. 3：4 B. 9：16 C. 9：1 D. 3：1
10.如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，给出以下结论：①；②；③；④若、为函数图象上的两点，则其中正确的是( )
A. ①③④
B. ①②④
C. ①②③
D. ②③④
二、填空题：本题共7小题，每小题4分，共28分。
11.分解因式：______.
12.已知关于x一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为______.
13.若实数a，b满足，则______.
14.已知代数式的值是9，则代数式的值是______.
15.如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的底面圆半径是，则圆锥的母线______.
16.如图，在菱形ABCD中，，按以下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N；②作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE，则BE的值为______.
17.如图，在矩形ABCD中，，，P为AD上一个动点，连接BP，线段BA与线段BQ关于BP所在的直线对称，连接PQ，当点P从点A运动到点D时，线段PQ在平面内扫过的面积为__________.
三、解答题：本题共8小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.本小题6分
先化简，再求值：，其中
19.本小题6分
如图，，，，，AE与BD交于点
求证：；
求的度数．
20.本小题6分
如图，一艘船由西向东航行，在A处测得北偏东方向上有一座灯塔C，再向东继续航行60km到达B处，这时测得灯塔C在北偏东方向上，已知在灯塔C的周围47km内有暗礁，问这艘船继续向东航行是否安全？
21.本小题8分
为了贯彻“减负增效”精神，掌握九年级600名学生每天的自主学习情况，某校学生会随机抽查了九年级的部分学生，并调查他们每天自主学习的时间.根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图图1，图，请根据统计图中的信息回答下列问题：
本次调查的学生人数是______人；
图2中是______度，并将图1条形统计图补充完整；
老师想从学习效果较好的4位同学分别记为A、B、C、D，其中A为小亮随机选择两位进行学习经验交流，用列表法或树状图的方法求出选中小亮A的概率.
22.本小题8分
2020年1月份，为抗击新型冠状病毒，某药店计划购进一批甲、乙两种型号的口罩，已知一袋甲种口罩的进价与一袋乙种口罩的进价和为40元，用90元购进甲种口罩的袋数与用150元购进乙种口罩的袋数相同.
求每袋甲种、乙种口罩的进价分别是多少元？
该药店计划购进甲、乙两种口罩共480袋，其中甲种口罩的袋数不大于乙种口罩袋数的，药店决定此次进货的总资金不超过10000元，求商场进货用的资金最少方案？
23.本小题8分
如图，AB为的直径，C为BA延长线上一点，D为上一点，连结AD，作于点E，交CD于点F，若
求证：CD是的切线；
若，，求EF的长.
24.本小题10分
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线经过点，与y轴交于点B，与反比例函数交于点，过B作轴，交反比例函数于点D，连接AD，
求b，k的值；
求的面积；
设E为直线AB上一点，过点E作轴，交反比例函数于点F，若以点A，O，E，F为顶点的四边形为平行四边形，求点E的坐标．
25.本小题10分
如图，抛物线与x轴相交于点、点，与y轴交于点，点D是抛物线上一动点，联结OD交线段AC于点
求这条抛物线的解析式，并写出顶点坐标；
求的正切值；
当与相似时，求点D的坐标．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：2的倒数是：
故选：
直接利用倒数的定义分析得出答案．
此题主要考查了倒数，正确把握定义是解题关键．
2.【答案】D
【解析】解：这组数据中99出现2次，次数最多，
所以这组数据的众数为99，
故选：
根据众数的定义求解即可．
本题主要考查众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
3.【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】
解：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；
B.该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选
4.【答案】A
【解析】解：由题意得：，
解得：，
故选：
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：2a和3b表示同类项，不能计算，因此选项A不符合题意；
，因此选项B不符合题意；
，因此选项C符合题意；
，因此选项D不符合题意；
故选：
根据单项式乘以多项式、积的乘方与幂的乘方，整式的除法以及整式加减的计算法则进行计算即可．
本题考查单项式乘以多项式、积的乘方与幂的乘方，整式的除法以及整式加减的计算法则，掌握计算法则是正确计算的前提．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了多边形的内角和定理，关键是根据n边形的内角和为解答．
设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理得到，然后解方程即可．
【解答】
解：设这个多边形的边数为n，则
，
解得，
故这个多边形为六边形．
故选：
7.【答案】C
【解析】解：将抛物线向左平移1个单位长度，向下平移2个单位得到抛物线的解析式为：，即
故选：
直接利用平移规律“左加右减，上加下减”解题．
本题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】
解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为
故选：
9.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，
注意：相似三角形的面积之比等于相似比的平方.
可证明∽，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案.
【解答】
解：四边形ABCD为平行四边形，
，，
∽，
：：1，
：：4，
：：4，
：：
故选
10.【答案】C
【解析】解：①由图象可知：，，
由对称轴可知：，
，
，故①正确；
②由对称轴可知：，
，
抛物线过点，
，
，
，故②正确；
③当时，y取最大值，y的最大值为，
当x取全体实数时，，
即，故③正确；
④关于对称轴的对称点为：
，故④错误；
故选：
①根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点即可判断；
②根据对称轴可知抛物线与x轴的另一个交点坐标，再求当时y的值即可判断；
③根据抛物线的顶点的纵坐标最大即可判断．
本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．
11.【答案】
【解析】解：，
，
故答案为：
观察原式，找到公因式3，提出公因式后发现符合平方差公式，利用平方差公式继续分解．
本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次分解因式．
12.【答案】
【解析】解：一元二次方程有两个相等的实数根，
，即，
故答案为：
根据题意得出关于k的方程，求出k的值即可．
本题考查了根的判别式，熟知一元二次方程的根与的关系是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：，
，，
，
故答案为：
根据非负数的性质求出a、b，从而求出的值．
本题考查了非负数的性质，掌握非负数的性质的应用是解题关键．
14.【答案】10
【解析】解：由题意得，
整理，得，
，
故答案为：
先求得，再将变形后整体代入求解．
此题考查了运用整体思想进行代数式化简求值的能力，关键是能将代数式准确变形并整体代入计算．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了弧长的计算.利用弧长公式，结合圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长计算得结论.
【解答】
解： 圆锥的底面周长，
设圆锥的母线长为R，则：，
解得
故答案为
16.【答案】
【解析】解：由作法得MN垂直平分CD，即，，
四边形ABCD为菱形，
，，
，，
在中，，
在中，
故答案为
利用基本作法得到得MN垂直平分CD，即，，再利用菱形的性质得到，，则利用勾股定理先计算出AE，然后计算出
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线
17.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了矩形的性质，扇形的面积公式，轴对称的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
由矩形的性质求出，由矩形的性质和轴对称性可知，≌，根据可求出答案．
【解答】
解：当点P从点A运动到点D时，线段BQ的长度不变，
点Q运动轨迹是圆弧，如图，阴影部分的面积即为线段PQ在平面内扫过的面积，
矩形ABCD中，，，
在中，，
，
，
，
由矩形的性质和轴对称性可知，≌，
，
，
故答案为：
18.【答案】解：，
，
，
当时，原式
【解析】根据完全平方公式、单项式乘多项式和平方差公式可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查整式的混合运算-化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．
19.【答案】解：，，
，，
即，
在和中，
，
≌，
；
如图，，
，
≌，
，
，
，

【解析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
先证明，再证明≌便可得；
由全等三角形的性质得，由，推出，可得
20.【答案】解：过点C作，垂足为如图所示：
根据题意可知，，
，
，
，
在中，，，，
则，，
这艘船继续向东航行安全．
【解析】过C作于点D，根据方向角的定义及余角的性质求出，根据等角对等边得出，然后在中求出CD即可．
本题考查了勾股定理的应用以及等腰三角形的判定；熟练掌握等腰三角形的判定和勾股定理是解题的关键．
21.【答案】40 54
【解析】解：本次调查的学生人数是人，
故答案为：40；
，
自主学习的时间是小时的人数有：人，
故答案为：54；
补全统计图如下：
根据题意画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中同时选中A的有4种，
同时选中A，B的概率是
由自主学习的时间是1小时的有12人，占求解即可得出答案；
用乘以小时人数所占比例，总人数乘以小时人数所占比例即可；
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与扇形统计图、条形统计图的知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】解：设甲种口罩进价x元/袋，则乙种口罩进价为元/袋，依题意有
，
解得，
经检验是原方程的解，
则
故甲种口罩进价15元/袋，则乙种口罩进价为25元/袋；
设购进甲种口罩y袋，则购进乙种口罩袋，依题意有
，
解得
因为y是整数，甲种口罩的袋数少于乙种口罩袋数，
所以y取200，201，202，203，204共有5种方案．
【解析】可设甲种口罩进价x元/袋，则乙种口罩进价为元/袋，根据用90元购进甲种口罩的袋数与用150元购进乙种口罩的袋数相同，得出方程求出即可；
可设购进甲种口罩y袋，则购进乙种口罩袋，根据甲种口罩的袋数不大于乙种口罩袋数的，药店决定此次进货的总资金不超过10000元，得出不等式组求出即可．
本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式组的应用及解法，在解答过程中寻找能够反映整个题意的等量关系是解答本题的关键．
23.【答案】证明：连接OD，如图，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
为的半径，
是的切线；
解：，在中，，
，
设，则，
，
为的直径，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
为的中位线，
，

【解析】连接OD，利用直角三角形的性质，同圆的半径相等，等腰三角形的性质与已知条件得到，再利用圆的切线的判定定理解答即可；
利用直角三角形的边角关系定理得到，设，则，，；利用圆周角定理和平行线的判定与性质得到，再利用相似三角形的判定与性质，列出比例式求得相等OF，利用垂径定理和三角形的中位线定理求出线段OE，则
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，三角形的中位线定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
24.【答案】解：直线经过点，
，
，
直线AB的解析式为，
点在直线上，
，
，
，
把代入得，；
直线与y轴交于点B，
，
轴，
把代入中得，，
，
的面积；
以点A，O，E，F为顶点的四边形为平行四边形，，
，
设点，
①当点E位于点F的左侧时，
点，
则，
，
，
，
；
②当点E位于点F的右侧时，
点，
则，
解得：，
，
，
，
综上所述，若以点A，O，E，F为顶点的四边形为平行四边形，点E的坐标为或
【解析】根据题意列方程即可得到结论；
根据一次函数的解析式得到，把代入中得到，根据三角形的面积公式即可得到结论；
根据平行四边形的性质得到，设点，①当点E位于点F的左侧时，得到点，②当点E位于点F的右侧时，得到点，解方程即可得到结论．
本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，三角形的面积的计算，平行四边形的性质，正确的理解题意是解题的关键．
25.【答案】解：设抛物线解析式为：，将点，，分别代入得：
，
解得：，
故抛物线解析式为：
由于，
所以该抛物线的顶点坐标是；
如图1，过点B作于点H，
，，
，
，
在直角中，，
，
；
如图2，过点D作轴于点K，
设，则并由题意知点D位于第二象限．
，
是公共角，
当与相似时，有2种情况：
①
，解得，舍去
②
，解得，舍去
综上所述，当与相似时，求点D的坐标是或
【解析】利用待定系数法确定函数解析式，根据函数解析式求得该抛物线的顶点坐标；
如图，过点B作于点H，构造等腰直角和直角，利用勾股定理和两点间的距离公式求得相关线段的长度，从而利用锐角三角函数的定义求得答案；
如图2，过点D作轴于点K，构造直角，设，则并由题意知点D位于第二象限．由于是公共角，所以当与相似时，有2种情况：
①则由锐角三角函数定义列出比例式，从而求得点D的坐标．
②则由锐角三角函数定义列出比例式，从而求得点D的坐标．
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．